Geometria e Medidas: TRAT. DA INFORMAÇÃO

CONTAGEM

PROBLEMAS DA CONTAGEM E PROBABILIDADE

A utilização da contagem para a resolução de situações problema e os métodos aplicados para sua realização.

A análise combinatória é a matéria que desenvolve métodos para fazer a contagem com eficiência. Os problemas de contagem estão presentes no cotidiano, por exemplo, no planejamento de pratos em um cardápio, a combinação de números em um jogo de loteria, nas placas dos veículos, entre inúmeras outras situações.

A ideia é a seguinte: Imagine que você tenha 3 calças, 5 camisas e 2 sapatos e queira saber quantas são as combinações possíveis utilizando essas peças. Para isso basta efetuar a multiplicação, assim: 5 . 3 . 2 = 30 possibilidades de combinações. Esse é chamado de princípio multiplicativo.

Exemplo 1. Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 6?

Então são 4 possibilidades para as dezenas, são quatro dígitos diferentes, e para as unidades serão 3, pois não queremos repetidos, portanto:

4 . 3 = 12 números de dois algarismos distintos.

Muitos problemas de Análise combinatória podem ser resolvidos utilizando o fatorial (n!), que é a multiplicação de números consecutivos: 4!= 4.3.2.1= 24.

Exemplo 2. Calcule o valor de: 5!

5.4.3.2.1

5.4

20 . 3 . 2 . 1

120

Essa propriedade utilizada na análise combinatória é a permutação, significa mudar a ordem, pense: De quantas maneiras distintas sete pessoas podem sentar em sete poltronas?

Temos uma permutação de sete elementos, então:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 maneiras.

EXERCÍCIOS:

1. No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 6?

Para que a soma seja 6, precisamos das seguintes faces: {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}. E considerando que o espaço amostral do lançamento de dois dados e representado pela multiplicação 6 * 6 = 36, temos a seguinte probabilidade:

A probabilidade é de 5/36, aproximadamente 13,88% de chance.

2. Considerando todos os divisores positivos do numeral 60, determine a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo.

Divisores de 60: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60). Temos um espaço amostral de 12 elementos, dos quais 3 são primos. Portanto, a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo dentro dos divisores do número 60, será dada por:

A probabilidade é de 25% de chance.

3. Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número nas seguintes condições:

a) par b) primo c) par ou primo d) par e primo

Espaço amostral: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)

a) No espaço amostral de 15 números, temos 7 números pares.

P = 7/15 = 0,466 = 46,6%

b) Temos 6 números primos dentre o espaço amostral de 15 números.

P = 6/15 = 0,4 = 40%

c) Número par = 7 possibilidades entre 15

Número primo = 6 possibilidades entre 15

Par ∩ primo = 1

P(par) + P(primo) – P (par ∩ primo)

d) Dentro do intervalo dado, temos um único número que satisfaz a condição de ser par e primo ao mesmo tempo, que é o número 2. Portanto, temos a seguinte probabilidade:

4. Um teste de múltipla escolha é composto de 12 questões, com 5 alternativas de resposta, sendo que somente uma, é correta. Calcule a probabilidade de uma pessoa, marcando aleatoriamente as 12 questões, acertar metade das respostas.

As chances de acerto são 1 em 5, que corresponde a 0,2 ou 20%.

As chances de erro são 4 em 5, que corresponde a 08 ou 80%.

Nesse caso, vamos utilizar a fórmula do método binomial: