CILINDRO

CILINDRO

O cilindro ou cilindro circular é um sólido geométrico alongado e arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.

Os componentes do cilindro são:

- Raio: distância entre o centro do cilindro e a extremidade.

- Base: plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases (superior e inferior).

- Geratriz: corresponde à altura (h=g) do cilindro.

- Diretriz: corresponde à curva do plano da base.

Dependendo da inclinação do eixo, ou seja, do ângulo formado pela geratriz, os cilindros são classificados em:

- Cilindro Reto: Nos cilindros circulares retos, a geratriz (altura) está perpendicular ao plano da base.

- Cilindro Oblíquo: Nos cilindros circulares oblíquos, a geratriz (altura) está oblíqua ao plano da base.

O chamado “cilindro equilátero” ou “cilindro de revolução” é caracterizado pela mesma medida do diâmetro da base e da geratriz (g=2r). Isso porque sua seção meridiana corresponde a um quadrado.

ÁREA DO CILINDRO

Área da Base: Para calcular a área da base do cilindro, utiliza-se a seguinte fórmula:

Ab= π.r²

Onde:

Ab: área da base

π (Pi): 3,14

r: raio

- Área Lateral: Para calcular a área lateral do cilindro, ou seja, a medida da superfície lateral, utiliza-se a fórmula:

Al= 2 π.r.h

Onde:

Al: área lateral

π (Pi): 3,14

r: raio

h: altura

- Área Total: Para calcular a área total do cilindro, ou seja, a medida total da superfície da figura, soma-se 2 vezes a área da base à área lateral, a saber:

At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r²) + 2(π.r.h)

Onde:

At: área total

Ab: área da base

Al: área lateral

π (Pi): 3,14

r: raio

h: altura

VOLUME DO CILINDRO

O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura (geratriz):

V = Ab.h ou V = π.r².h

Onde:

V: volume

Ab: área da base

π (Pi): 3,14

r: raio

h: altura

EXERCÍCIOS:

Para compreender melhor o conceito de cilindro, confira abaixo dois exercícios, sendo que um deles caiu no ENEM:

1. Uma lata em forma de cilindro equilátero tem altura de 10 cm. Calcule a área lateral, a área total e o volume desse cilindro.

Área Lateral:

Al= 2π.r.h

Al= 2π.r.2r

Al= 4π.r²

Al= 4π.52

Al=4π.25

Al=100 π cm²

Área Total:

At=4π.r²+2π.r²

At=6π.r²

At=6π.(52)

At=150 π.r²

Volume:

V = π.r².h

V= π.r².2r

V=2π.r³

V=2π.(53)

V=2 π.(125)

V=250 π cm³

Respostas:   Al=100 π cm², At=150 π.r² e V=250 π cm³

2. (ENEM-2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores, mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la.

Ciência Hoje das crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, ano 19, n. 166, mar. 1996.

Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π(pi) = 3)

a) 20 ml.        b) 24 ml.        c) 100 ml.        d) 120 ml.        e) 600 ml.

Resposta calculada:

10 cm de altura

4 cm de diâmetro (raio é 2 cm)

π(pi) = 3

Assim, para saber a quantidade de água que devemos colocar no copo devemos utilizar a fórmula do volume:

V = π.r².h

V = 3.2².10

V=120 cm³

Encontramos o volume (120 cm³) para uma parte de açúcar e cinco de água (ou seja, 6 partes).

Logo, cada parte corresponde a 20 cm³

120÷6=20 cm³

Se temos 5 partes de água: 20.5 = 100 cm³

3. Um reservatório em formato cilíndrico possui raio igual a 2 metros e sua altura é de 10 metros, como mostra a imagem a seguir. Qual é o volume desse reservatório? (considere π = 3,14).

a) 125,6 m³     b) 115,6 m³     c) 100,6 m³     d) 75,6 m³     e) 15,6 m³

O volume do cilindro é dado pela área da base multiplicada por sua altura. Assim, podemos obter essa medida com a seguinte fórmula:

V = πr² . h

Substituindo os valores de π, do raio e da altura desse cilindro, teremos:

V = 3,14 . 22 . 10

V = 31,4 . 4

V = 125,6 m³ (Alternativa A)

4. Um cilindro possui volume igual a 7850 cm³ e seu diâmetro mede 10 centímetros. Qual é a medida da altura desse cilindro? (Considere π = 3,14).

a) 50 cm     b) 100 cm     c) 120 cm     d) 150 cm     e) 200 cm

Para determinar a altura do cilindro, basta usar a fórmula do volume, uma vez que conhecemos seu volume e raio. Para encontrar o raio, lembre-se de que o diâmetro tem o dobro da medida do raio, logo, r = 5 cm.

V = πr² . h

7850 = 3,14 . 5² . h

7850 = 3,14 . 25 . h

7850 = 3,14 . 25 . h

7850 = 78,5 . h

7850 : 78,5 = h 

h = 100 cm (Alternativa B)

5. Qual é o volume de um cilindro cuja altura é igual ao dobro de seu raio.

a) πr³    b) 2r³     c) 2πr     d) 2π     e) 2πr³

Se o raio desse cilindro mede x, então sua altura mede 2x. Logo:

V = πr² . h

V = πx² . 2x

V = 2πr³ (Alternativa E)